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ISBN: (纸本)9787560358161

关键词： 常微分方程   Green函数   边值问题   不动点指数定理   正解   数值解  

摘要： 常微分方程边值问题是微分方程研究中的一个重要的部分,它们能够很好地解释不同领域的各类自然现象,比如大气对流、飞机飞行的稳定性等,并且常微分方程边值问题的研究还具有重要的理论意义.本文主要通过Green函数将常微分方程转化为相应的积分方程,然后研究积分方程正解的存在性和多重性,同时还讨论了积分方程的数值解.本文的主要内容如下:第一章简要概括了常微分方程边值问题以及积分方程的发展历史和研究现状;同时给出了本文常用到的相关引理和概念.第二章主要研究了一类三阶常微分方程边值问题的Green函数求法,总结出了一类常微分方程Green函数的计算方法,同时给出了实际例子.第三章主要研究了二阶非线性常微分方程Neumann边值问题多个正解的存在性和正解的不存在性,通过非线性泛函分析中的不动点指数理论,得到了该问题至少存在两个正解,同时给出了正解不存在的条件.第四章主要讨论了第二类Fredholm积分方程的数值解.首先简要概括了该积分方程的研究现状和分类;其次证明了第二类Fredholm积分方程解的存在性和唯一性,并给出了具体的例子;最后,对解析解不容易求出的积分方程,给出了一种解决方法—数值积分法.第五章是本文的研究总结与展望.

关键词： 复值解   复值函数求导   阶线性微分方程   共轭复值函数  

摘要： 在常微分教材中,n阶线性微分方程是非常重要的一个内容,不仅其理论已经被深入研究,就连其应用也是相当广泛。在教材的第四章中,关于n阶线性微分方程的复值解有两个很重要的定理,但都未给出相关证明,本文先通过对前一节课涉及到的重要概念进行回顾,通过讲解新概念,然后再给出这两个定理的证明过程。

关键词： 常微分方程   变量分离   启发式教学   认知学习   发现学习  

摘要： 在理工科的高等数学中,有三类可化为变量分离方程的一阶常微分方程;传统的教学安排,讲解略显零散,不利于学生的学习.本文由现代认知学习理论出发,依次从形式统一、几何直观阐释及例题讲解三个层次给出这三类方程的启发式教学,并强调学生的发现学习.

关键词： 常微分方程   时间   精度   刚性方程   非刚性方程  

摘要： 本文借助Matlab常微分方程求解工具箱,从时间与精度两个方面对刚性和非刚性方程的数值求解进行分析与比较,进而对常微分方程的求解给出一般的建议。

关键词： 多体系统动力学   微分求积法   非线性   常微分方程  

摘要： 针对多体系统动力学非线性常微分方程形式,在时间域上采用微分求积法(DQ,Differential Quadrature Method),得到以时间域中各时间节点处函数值为未知数的非线性方程组,求解可得各时间节点处的函数值,从而得到满足工程应用需要的常微分方程数值解。以平面双连杆机械臂为例在时间域上采用微分求积法验证,结果表明,该方法具有数学原理简单、使用方便和精度高等优点,是一种求解多体系统动力学方程的有效方法。

关键词： 常微分方程   Euler算法   Runge-Kutta算法   算法精度   算法速度   自洽程度  

摘要： 计算子午线弧长与底点纬度本质上是解算标准的一阶常微分方程。为了研究利用常微分方程数值解法进行子午线弧长与底点纬度计算的可行性与可靠性,选取大地纬度自0°起以步长1″依次增大至90°,共计324 001个样本数据,分别基于求解常微分方程的Euler算法、改进的Euler算法以及二阶、三阶、四阶Runge-Kutta算法对其进行了数值计算。并与传统算法结果进行比较,从数值算法结果的精度、运算速度、自洽程度等方面对数值算法质量进行评价。计算结果表明:利用常微分方程数值解法求解子午线弧长与底点纬度的方法,能够得到与传统算法精度一致的结果;且数值算法运算速度大约是传统算法的2倍,其中四阶Runge-Kutta算法的精度与自洽程度最高。这表明,常微分方程数值解法比传统算法更适用于子午线弧长和底点纬度的大数据计算。

关键词： 常微分方程   数值求解   误差阶数  

摘要： 针对常微分方程初值问题,在特定时间步长且真解未知的情况下,给出计算数值离散格式的误差随网格剖分尺寸的收敛阶数的新方法.通过数值实验,和必须已知真解情况下才能计算误差的传统方法进行对比分析.实验证明新方法可以不需要知道真解就能够对数值格式的误差阶数进行准确计算突破了传统方法中的局限性.

关键词： 常微分方程   参数估计   渐近有效   正则性条件   统计推断   传统方法   统计特性   渐近正态  

摘要： Parameter estimation for ordinary differential equations arises in many fields of science and engineering. To be the best of our knowledge, traditional methods are often either computationally intensive or inaccurate for statistical inference. Ramsay et al.(2007) proposed a generalized profiling procedure. It is easily implementable and has been demonstrated to have encouraging numerical performance. However, little is known about statistical properties of this procedure. In this paper, we provide a theoretical justification of the generalized profiling procedure. Under some regularity conditions, the procedure is shown to be consistent for a broad range of tuning parameters. When the tuning parameters are sufficiently large, the procedure can be further shown to be asymptotically normal and efficient.