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关键词： 最小二乘支持向量机   常微分方程   比例延迟微分方程   近似解   数值解  

摘要： 微分方程的求解及其解的性质研究一直是微分方程研究的一项重要内容。在实际应用和科学研究中,多数微分方程很难获得解析解。近年来,随着计算机技术的发展,一些新的智能算法用于求解微分方程,它们克服了传统方法的缺点,可得到连续可微的近似解析解。其中最小二乘支持向量机(LS-SVM)在求解微分方程的问题中取得不错的效果,它将原微分方程作为约束条件加入到LS-SVM回归模型中,从而极大地提高了该算法的精确度和泛化能力。本文针对应用LS-SVM方法求解线性常微分方程时遇到的部分问题进行研究,并提出一种新的方法求解线性比例延迟微分方程。主要内容如下:首先,对于线性常微分方程,为了提高近似解的精度,提出了一种基于数值方法和LS-SVM回归的新方法,并应用于求解线性常微分方程。该方法将高精度的数值解作为约束条件加入到非线性LS-SVM回归模型中,并通过误差函数最小化获得该模型的最优参数,从而获得高精度的近似解。大量数值实验证明了我们的方法能提高近似解的精度。其次,对于高阶线性常微分方程,为了避免对核函数求高阶导数,将它转化为线性微分方程组,构建含有一阶导数形式的非线性LS-SVM回归模型,并利用最小化误差函数去获得合适的参数,最终通过求解三个线性方程组获得高精度的近似解。数值实验验证了我们方法的有效性。最后,将LS-SVM算法推广到求解比例延迟微分方程。在该方法中,用等式约束代替不等式约束,避免了求解复杂的二次规划问题,通过求解一个线性方程组得到近似解。数值实验证明了我们方法的有效性。

关键词： 有界变差解   广义线性常微分方程   正则函数   Kuezweil积分   参数连续依赖性   Perron乘积积分  

摘要： 本文借助Kurzweil积分理论,正则函数的性质及广义常微分方程理论,研究并得到了如下含有Perron乘积积分表示的矩阵函数的广义线性常微分方程有界变差解的整体存在唯一性定理以及解对参数的连续依赖性定理.dx=d[(?)]x+df

关键词： 刚性常微分方程   指数拟合   三角拟合   Rosenbrock方法  

摘要： 随着对刚性常微分方程初值问题的不断深入研究,国内外学者给出了许多较为有效的特殊Runge-Kutta方法,主要包括对角隐式Runge-Kutta方法和Rosenbrock方法。函数拟合方法是一类在局部区间上用一个有理函数来近似地表示刚性常微分方程的解的方法,考虑在其解区间上构造指数拟合的函数,来使得其近似逼近原方程的解曲线,其中比较有效和精确的算法是将Runge-Kutta方法与指数拟合相结合来处理刚性问题。同时,对于一类解可由集合{eiωx,e-iωx}或由集合{cos(ωx),sin(ωx)}(ω>0)线性组合的一阶常微分方程初值问题,可将三角拟合思想应用于Runge-Kutta方法上,来得到一类相比传统方法来说更具优势的新方法。学者们将对角隐式Runge-Kutta方法结合指数拟合和三角拟合的研究已经做了较多的工作,而未见采用指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法,且Rosenbrock方法相对于对角隐式Runge-Kutta方法来说,具有更小的计算量,故本文将针对常微分方程初值问题这一模型,利用Rosenbrock方法结合指数拟合和三角拟合思想来得到一类在误差和精度上具有更好的表现的方法。在第一章,介绍了关于刚性常微分方程初值问题的研究背景和国内外现状,且给出了早期学者们对Rosenbrock方法的发展与改进。在第二章和第三章,构造了一类二级2阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法,得到了定系数的二级2阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法的具体格式,并证明了不存在此类三级3阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法。最后验证了定系数的二级2阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法是A-稳定的。在第四章,利用数值实验验证了指数拟合Rosenbrock方法的有效性,主要应用了几组不同的数值实验来比较方法的收敛性和计算时间,通过实验结果得到与理论基本一致的结论。在最后一章,主要是对本文做一个总结,并针对本文未涉及到的其它模型和方法给出了笔者后期的一些想法与计划。

关键词： 常微分方程   增根   失根  

摘要： 求解微分方程是常微分方程课程中非常重要的内容,求解过程中难免会出现增失根问题。本文对增失根的原因进行了深入的讨论,并给出了一些有益的建议。

关键词： 常微分方程   换元   分离变量法   恰当方程  

摘要： 对一道一阶直线型微分方程进行了探讨,并从多角度和不同思维方法进行分析求解,展示一题多解的技巧。

关键词： 三角小波   高阶常微分方程   泊松方程   双调和方程   配置法   张量积  

摘要： 在调和分析的理论研究中,三角级数一直扮演着重要角色.同样,在小波分析的发展史上,三角小波也占据着重要位置.三角小波同时具有三角级数良好逼近性和小波局部性的优点,是三角级数与小波完美结合的产物,已被广泛应用于众多领域.本文利用三角小波配置法对高阶常微分方程以及泊松方程和双调和方程进行数值解的研究,拓宽了小波在微分方程数值求解方面的应用,为微分方程的数值求解提供了一种方法.本文首先利用三角小波定义及分部积分法和数学归纳法研究了三角小波的积分公式,为三角小波数值求解微分方程做了前期准备工作;其次利用三角小波及其积分,运用小波配置法研究了四个高阶常微分方程,运用二维张量积小波配置法研究了六个满足不同边界条件的二维泊松方程和二维双调和方程,其基本思想是先将微分方程中出现的最高阶导函数用截断三角小波级数近似表示,然后对该三角小波级数进行数次积分并结合边界条件得到低阶导函数和未知函数的三角小波级数形式,之后选取配置点将由三角小波级数表示的微分方程转换成线性方程组,通过求解线性方程组,得到三角小波系数,进而得出三角小波数值解.最后通过Matlab编程得到微分方程数值解与精确解在配置点处的误差,验证了三角小波求解本文中微分方程方法的可行性、有效性.

ISBN: (纸本)9787030510488

关键词： 常微分方程   数学模型   应用  

摘要： 常微分方程为数学专业的一门基本学科,也是数学与我们现实生活当中的实际问题紧密相连的重要性桥梁,本文主要探讨常微分方程在数学建模当中的基本应用问题以及在数学建模当中渗透常微分方程的重要性。

关键词： 多尺度方法   再生核空间   最小二乘法   常微分方程  

摘要： 多尺度问题经常出现在应用数学和物理领域。典型的例子是复合材料中和地下地层的地下水运输。由于规模的巨大,传统数值方法难以解决,因此大量的多尺度方法被提出来用于解决多尺度问题,例如数值均匀化,多尺度有限元方法和多尺度有限体积方法。这些方法的共同目标都是构建多尺度基函数,本文也将多尺度方法与再生核方法结合起来,构造多尺度正交基,并用于求解具有初值条件的二阶微分方程的高精度解。本文首先介绍了多尺度方法以及再生核空间的基本定理和性质,并给出了再生核空间中再生核函数的具体表达式,特别地,提出了满足初值条件的再生核空间W[0,1]。其次,应用多尺度方法在再生核空间中建立了多尺度正交基。针对所研究的微分方程问题,将其转换为再生核空间中的第二类积分方程,并以多尺度正交基为基底框架,建立了近似解的基本形式。然后,结合最小二乘法确定了近似解基本形式中的未知系数,进而获得方程的近似解。同时对所提出的数值算法进行收敛性的证明,证明该算法所得近似解在连续函数空间范数意义下至少4阶收敛。最后,通过两个数值算例来例证多尺度再生核方法的有效性。

关键词： 高等数学   常微分方程   探究式学习   教学实践  

摘要： 高等数学中常微分方程教学一直是课程难点,本文重新设计的此部分的教学方式,利用菲尔德西尔弗曼的学习风格指数对学生进行了分类与分组,针对不同类型的学生设计了相应的案例,并给出了实践的相应流程,最后对实施效果进行了总结。