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关键词： 常微分方程   模块教学   教学改革   少数民族地区  

摘要： 本文结合少数民族地区教学实际,通过对赤峰学院在教学内容、教学方法、考核方式等三个方面的分析,探索若干新思路,为常微分方程教学改革提供一定的借鉴和启示。

关键词： 数学建模思想   常微分方程   融合   教学  

摘要： 常微分方程作为高等数学当中一门基础性的课程是用来专门描述客观存在的事物之间数量关系的重要模型。现存的传统方式的常微分方程教学方法已经越来越不能满足学生兴趣型与主动性学习的要求,这也给教师的教学带来了相当大的难度。为了能够更好的解决这个问题,文章就如何将数学建模思想融入常微分方程的教学当中来进行探讨,并对常微分方程的教学方法提出创新改革。

关键词： 四阶ODE   多项式方程组   同伦方法   本征函数展开法   伪解  

摘要： 本文主要研究常系数和变系数非线性四阶常微分方程多解计算的数值方法。主要包括关于微分方程的特征函数展开离散化方法和关于离散化方程组的同伦延拓法。在第一部分中,我们对四阶常微分方程采用特征函数展开法进行离散,并分别得到关于离散误差的H1-范数估计和L2-范数估计。我们用数值算例验证特征函数展开法的收敛速度。在第二部分中,我们从数值上寻找具立方非线性的四阶常微分方程的多解。对于用特征函数展开法得到的离散化方程组,我们构造了快速求其全部解的多项式同伦。此种同伦方法的思想是逐次求解自由度逐渐增加的离散化多项式方程组,前一步的解代入后一步的初始方程组,然后只需求解最后一个多项式即可得到后一步初始方程组的全部解,然后再用路径跟踪求得后一步目标方程组的全部解,由此形成一个递归过程来求最细离散水平上方程组的全部解。我们提出有限差分过滤子和牛顿过滤子以剔除离散化方程组解集中可能出现的伪解。这些过滤子基于误差估计。我们用数值例子验证所提同伦方法的效率。最后,我们提出求解变系数的三次和五次非线性四阶常微分方程的对称同伦方法。对特征函数展开离散化方程组,我们分析离散化多项式方程组解集的对称性。基于这种对称性,我们选取简单的四阶常微分方程作为初始问题,并将其在特征子空间中离散。此种离散化子方程组很容易求解。然后,我们将这些子方程组按块组装作成初始方程组,构造对称同伦,求解目标离散化方程组。由于只需跟踪代表解路径,对称同伦可以节省计算量。我们应用牛顿过滤子以剔除可能的伪解。数值实验表明,所构造的对称同伦是高效的。

关键词： 常微分方程   换元   分离变量法   黎卡提方程  

摘要： 对一道一阶常微分方程方程,通过换元、分离变量法,以及黎卡提方程等多种方法求出方程的通解。

关键词： 奇异微分方程   延迟微分方程   反应扩散方程   边值方法   紧致差分方法   唯一可解性   收敛性   稳定性  

摘要： 微分方程在模拟物理学、化学反应、控制工程、生物过程等科学领域的现象中起着重要作用.由于这些现象的多样性,用来描述它们的微分方程也是多种多样的.一般情况下,我们很难获得这些方程的理论解的表达形式.并且由于方程的复杂性,对其理论解性质的分析也具有很大的难度.因此,我们需要借助一些有效的数值方法来获取这些方程的解的信息.本文主要针对几类常微分方程及反应扩散方程构造高效的数值方法并研究其数值解的性质.在第一章,我们首先介绍了与本文选题相关的几类微分方程的应用背景,接着回顾了这几类微分方程的研究现状以及边值方法的发展现状,最后概述了本文的主要研究工作.在第二章,我们考虑了一阶奇异微分方程初值问题的块边值方法.我们证明了在适当的条件下该方法存在唯一解,并且是稳定的和收敛的.数值算例验证了方法的稳定性、有效性和精度.最后我们将其与基于隐式Euler格式的迭代亏损校正方法相比较,数值结果表明块边值方法在计算精度和效率方面是具有可比性的.在第三章,我们分析二阶延迟微分方程初值问题的广义St¨ormer–Cowell方法.我们首先给出该数值方法的唯一可解性条件,接着证明其收敛性和全局稳定性结果.数值试验阐明了方法的精度和有效性.最后我们利用一个变换将原问题转化成等价的一阶延迟微分方程初值问题,并用拓展的梯形公式进行离散.通过比较这两种方法的数值结果,我们知道广义St¨ormer–Cowell方法在计算时间上具有一定的优势.在第四章,我们研究半线性反应扩散方程的紧致边值方法.该方法在空间方向上用四阶紧致差分方法逼近,时间方向上用p阶边值方法离散.我们证明了该方法的局部稳定性和唯一可解性,并且方法具有四阶空间精度和p阶时间精度.将该方法用于求解Fisher方程,可验证方法的计算有效性和精度.此外我们还将其拓展求解二元耦合半线性反应扩散系统,数值结果说明了拓展的方法的有效性和高精度.在第五章,我们构造了半线性对流反应扩散方程的紧致块边值方法.首先我们利用一个指数变换,将原方程转化成等价的反应扩散方程.然后将四阶紧致差分格式和p阶块边值方法结合,构造出求解转化后的问题的高效离散方法.另外,利用指数变换和迭代算法,我们还可以将该方法拓展求解二元耦合半线性对流反应扩散系统.两个数值例子分别验证了该方法在求解对流反应扩散方程和耦合对流反应扩散系统以及相应的转化后的问题的有效性和高阶精度.同时我们还将二阶分块拓展的梯形公式和二阶向后微分公式分别离散时间变量,数值结果表明二阶分块拓展的梯形公式在用于时间离散时具有更好的计算精度.在第六章,我们对本文的工作进行了总结并提出一些将来要研究的问题.

关键词： 微分代数方程   周期解   存在性   拓扑度   流形   常微分方程  

摘要： 微分代数方程由若干个微分方程和代数方程组成.在实际应用中,它通常有巨大的维数,由成百上千个方程组成,在物理和工程领域已经引起了广泛的关注与应用.微分代数方程(DAEs)比常微分方程(ODEs)的应用更加广泛,许多应用中的著名ODEs实际上是被显式地简化为ODE形式的DAE.本文用向量场上的度理论研究带非自治约束的一类微分代数方程的T周期解,在简单的度理论条件下得到方程T周期解的连通分支的存在性.本文的主要证明思路是将DAE转化为流形上等价的ODE,然后利用向量场的度理论和流形上ODE的T周期解的结果来得到我们的结论.第一章,介绍了相关问题的研究现状和本文研究的主要内容与结果.第二章,通过坐标变换,将非自治约束的DAE转化为自治约束的DAE;然后利用DAE与适当流形M上ODE的等价性,得到对应的ODE;然后利用向量场上的度理论,证明一个公式,用简单的向量场F的度代替M上切向量场Ψ的度,并给出例子加以说明.第三章,利用流形上ODE的T周期解的相关结果,在简单的度不为零的条件下,证明本文研究方程在H-N是否恒为零的两种不同形式下的T周期解的连通分支的存在性,并给出对应情形的例子.

关键词： 滞后型脉冲微分方程   测度微分方程   Henstock-Kurzweil积分   有界变差解  

摘要： 本文应用Kurzweil广义常微分方程理论,研究了以下滞后型脉冲微分方程x(t)= f{t,xt),t≠tk,k = 1,2,…,m,Δx{tk)= Ik(x{tk)),t = tk,k = 1,2,…,m,(1)xt0=φ与测度微分方程Dx = f(x,t)+ g(x,t)Du+p(t)Du(2)的有界变差解.借助Henstock-Kurzweil积分,建立了这类常微分方程有界变差解的存在性定理,本质上推广了一些相关结果.本文主要包括三部分内容:第一部分介绍了文中所用到的基本概念和引理;第二部分给出了滞后型脉冲微分方程有界变差解的存在性定理;第三部分建立了测度微分方程有界变差解的存在性定理.

关键词： 雨课堂   常微分方程   教学改革   实践探索  

摘要： 针对"常微分方程"传统教学过程中课时少任务重、授课班级人数多、教学工具陈旧、学生参与课程教学积极性不高、师生互动受限等问题,本文探讨了将智慧教学工具"雨课堂"应用于课程教学中,并对比分析"课前-课中-课后"各环节的传统教学和"雨课堂"教学环境下学生参与课程学习的程度、教师教学侧重点、教学反思的依据、师生互动程度及教学效果。实践表明,"雨课堂"教学可以激发学生学习的兴趣和自主性,打破师生互动"时空"限制,实现师生互动"不下线",做到精准教学,能够提升课程教学效果。

关键词： 纵向数据   常微分方程   统计诊断   边界效应   自适应的两步估计  

摘要： 纵向数据被广泛地应用在经济,医学,心理学,社会学等各个领域。它是对多个个体按照时间的变化重复多次测量得到的数据,并且同时具备时间序列和截面数据的特点。目前已经存在很多对纵向数据建立模型的方法,本文基于常微分方程（ODE）模型对纵向数据进行研究,结合常微分方程和纵向数据的特点,从时间和个体两个角度考虑多个变量之间的相互关联,建立网络模型。在实际问题中,模型中的参数往往是无法直接得到的,只能通过观测数据去估计。因此准确的估计模型中的参数对建立合适的模型,以更好的评估和预测是至关重要的。为避免传统的参数估计方法计算量大的问题,文献中提出了两步估计法,这种方法计算量小但存在边界效应,这会影响参数估计的准确度。因此在实际模型中,常常很难平衡计算量和估计准确度的问题。针对以上ODE模型参数估计的缺陷,本文提出了一种有效的统计诊断方法,并在此基础上对ODE模型提出了自适应的两步估计法。首先,本文基于两步估计法将经典欧氏空间中对ODE模型的局部扰动分析推广到函数空间中,在模型中存在和不存在冗余参数两种情况下,分别对自变量、因变量和权重函数进行扰动分析,讨论这三种情形下诊断函数的具体表达式。其次,针对统计诊断时模型中普遍存在的边界效应问题,在上述统计诊断结果的基础上,通过选择合适的权重函数在边界效应和参数估计效率上达到平衡,从而得到最优的参数估计,把这种方法称为自适应的两步估计法。论文利用上述提出的统计诊断方法和自适应的两步估计法,进行模拟试验和实例分析,通过对实验结果的分析可得:（1）本文提出的局部扰动分析方法能够有效地检测出观测值中的异常点,但不同的数据区域对扰动的敏感度不同,同时,模型存在边界效应。（2）自适应的两步估计法比传统的两步估计法参数估计更精确,且它保留了两步估计计算量小的优点,很好地平衡了参数估计中计算量和精确度的问题。

关键词： 二阶线性非齐次常微分方程   解法   可积形式  

摘要： 对一道二阶线性非齐次常微分方程进行讨论,给出5种解法,并对二阶线性方程进行讨论,给出可解的形式。