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关键词： 常微分方程的反问题   线性微分方程   非线性微分方程  

摘要： 研究一类常微分方程的反问题:任给函数组,求以函数组为解的常微分方程.应用待定系数法,在不同条件下,构造了两种以函数组为解的常微分方程,包括高阶非齐次线性微分方程和一阶非线性微分方程,最后通过实例对构造方法进行应用.

关键词： 轨道交通   地铁客流   动态图神经网络   MTGODE模型   深度学习  

摘要： 随着城市轨道交通的快速发展,客流量的准确预测对于改善运营服务至关重要。为了解决当前地铁客流预测存在的时空特性挖掘不充分等问题,进一步提高预测的精度与效率,研究了基于动态图神经常微分方程模型(multivariate time series with dynamic graph neural ordinary differential equations,MTGODE)的地铁短时客流预测方法。该方法通彭颢1贺玉过学习地铁站点间的动态关联强度构建动态拓扑图结构,基于学习得到的动态图进行连续图传播以传递时空信息、挖掘客流的依赖关系,并采用残差卷积提取多时间尺度下的周期性模式,实现了对站点间时空动态的连续表征,克服了传统图卷积网络模型难以刻画动态空间依赖的局限性。此外,为了充分挖掘不同站点间客流分布的时空规律,综合利用北京地铁自动售检票系统(auto fare collection,AFC)刷卡数据、天气数据、空气质量数据以及车站周边用地属性数据构建多源融合的客流预测模型。通过选取地铁北京站和积水潭站-东直门站的历史数据开展进站客流和OD客流预测实验,结果表明:与多个基准模型相比,该模型在平均绝对误差、均方根误差和平均百分比误差这3个指标中均取得了更优的预测效果,相较最优基准模型扩散卷积循环神经网络(diffusion convolutional recurrent neural network,DCRNN)分别降低了9.93%,12.30%,9.23%,对地铁客流时空分布的拟合程度更好,模型具有更好的预测精度、稳定性和拟合能力。

关键词： 边值问题   双区复合微分方程   相似核函数   引解函数  

摘要： 本文针对二阶复合型非齐次线性微分方程的边值问题进行研究。相似构造法通常用于求解二阶齐次线性微分方程的边值问题,本文将相似构造法应用于求解二阶复合型非齐次线性微分方程的边值问题。该方法是求解一般复合型二阶线性微分方程边值问题的一种方便、有效、有创新性的方法。本文的研究扩充了相似构造法的应用范围。

关键词： 常微分方程   数学建模   常微分方程模型  

摘要： 常微分方程实质上是一种工具,用于描绘和阐述事物的演变过程,甚至可以透过模型来揭示真实世界中的动态联系。构建常微分方程模型,不仅能有力地辅助我们对相关问题做出适当的评估和决定,同时也能为我们未来的发展路径做出独特的预见。一个重要的方法,即利用常微分方程来处理实际问题,这就需要我们构建一个用于处理实际问题的数学模型--常微分方程模型。依照现实问题所需的条件,我们设定了模型的各项参数,然后运用现代物理、化学、生物、经济等多领域的知识,通过常微分方程的不同表达方式,对问题的起因和规则进行了阐述。现代数学建模教育课程中,常微分方程模型扮演着关键的角色。因此,本篇文章首先探讨常微分方程的进步情况,接着详细阐述常微分方程模型,最终通过几个实际案例,阐述常微分方程在数学建模中的运用。

关键词： 拉格朗日方程   微分代数方程   能量守恒定律   哈密顿方程   非保守系统   常微分方程   准坐标   动力学问题  

摘要： 在动力学问题的数值仿真中,保持离散后的系统与原始系统相同的特性和结构是非常重要的.对于使用哈密顿方程建模并使用辛积分器求解的保守系统,其系统的能量可以在求解过程中守恒.然而,有许多系统是在跟随坐标系下建模的,且模型中包含非线性耗散项,除非将耗散造成的能量损失一并考虑在内,否则很难保持系统的能量守恒特性。因此,在数值模拟期间保持总能量守恒是至关重要的。为了解决这个问题,本研究使用准坐标描述的拉格朗日方程来描述建立在跟随坐标系下的动力学系统,并提出了一种新的能量约束型欧拉积分器来求解建立的系统.该积分器将能量守恒定律作为约束方程,并从最初的常微分方程中构建一个新的微分代数方程通过隐式地求解该微分代数方程,获得保持系统总能量守恒的数值结果.为了将所提出的方法与常用的辛积分器和普通数值积分器进行比较,分别将各个积分器用于求解线性和非线性系统的初值问题。常用的辛积分器由于准坐标描述的拉格朗日方程的非对称结构,无法保持此类模型的总能量守恒特性.与之相对的,本文提出的能量约束型欧拉积分器能较严格地保持系统的能量守恒属性,且对保守和非保守系统都有较好的效果.

关键词： 多尺度法   简化版多尺度法   久期项   泰勒展开  

摘要： 针对带小参数的微分方程求数值解已经有了很多种数值解法,比如多尺度法(Multiscale Methods),将微分方程按照时间尺度进行划分,通过分开求解不同时间尺度下的子方程从而求解原方程。但是这种方法划分的尺度过于臃肿,极大的增加了运算时间;其次需要手动处理尺度方程,来避免久期项(secular terms)的影响导致最终求得的数值解有一定的误差。本文提出了一种改进版的多尺度法(Reductive Multiscale Methods),将时间尺度的划分极大地简化,其次利用欧拉公式和泰勒展开的性质将久期项(secular terms)化到尺度方程内部,从而避免了久期项(secular terms)对数值解的影响。最后将该方法举例得到的数值解与多尺度法(Multiscale Methods)对比,在一定程度下,验证了改进算法的运算量小、高效率的优势。

关键词： 积分因子   伯努利方程   常数变易   变量替换   Matlab  

摘要： 常微分方程是数学分析、高等代数的后继课程,对培养学生学习和研究能力具有重要作用。对常微分方程的题目进行一题多解的讲授,可使学生从多个角度体会解题方法、解题技巧,提高学生的发散思维,从而加深学生对常微分方程基本理论、基本方法的理解,提高教学效果。本文利用积分因子法、伯努利方程、常数变易法、变量替换法、Matlab法求解一道一阶常微分方程的题目。

关键词： PBGS教学模式   常微分方程几何理论与分支问题   课程改革  

摘要： 常微分方程几何理论与分支问题是高校应用数学专业研究生必修课程之一。作为现代数学的重要分支，它在物理学、微分几何、计算数学、计算机图形学、图像处理等领域发挥着关键作用。不仅如此，在边缘科学领域如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等方面也有着重要的应用。随着信息技术的飞速发展和教学模式的不断优化，传统的教学方式已经无法完全满足应用数学专业研究生的学习需求。通过引入基于项目的团队学习教学方法，促进学生的自主学习，提高学生的问题解决能力和团队合作意识，这种教学模式可以更好地满足高校应用数学专业研究生的学习特点和发展需求。

关键词： B样条   非线性常微分方程   变量选择   基因调控网络  

摘要： 基因调控网络(Gene Regulatory Network,GRN)是一种描述基因之间相互作用的复杂网络结构。在生物学中,基因调控网络描述了基因之间的调控关系,这些调控关系可以用网络来表示,其中基因可以被视为节点,调控关系可以被视为节点之间的边。基因调控网络的研究有助于理解基因调控的机制,揭示基因之间的相互作用关系以及在疾病发生和发展中的作用。在实验中,虽然可以发现基因之间的关系,但这只是完整关系中的一部分,难以重建完整的基因调控网络。因此,利用基因表达数据和已知的调控关系通过动态模型揭示基因之间潜在的关联性这一想法对于整合和重构GRN至关重要。 此外基因之间的关系并非只有简单的线性调控,非线性动态模型广泛用于表征控制复杂生物系统的过程,其中既涉及非线性泛函,也涉及双向相互作用。因此在本文中,我们探索了一种新的考虑交叉项的非线性常微分方程参数估计方法,针对带有交叉项的动态模型进行推断。对此本文开展的主要工作如下: 第一部分本文选择两阶段搭配方法,利用B样条基展开来近似函数的线性项,B样条曲面展开来近似交叉项,在第一阶段将最小二乘法和样条展开相结合得到基展开的估计。同时为了提高估计效率本文采用了积分估计,得到估计的基函数展开的积分。第二步中将积分结果代入Group LASSO模型,得到最终估计值。最后基于SIR型流行病学模型、经典Lotka-Volterra模型及其改进模型做数值模拟与传统非线性最小二乘法(NLS)和可分离非线性最小二乘法(SLS)进行比较,数值模拟结果表明本文提出的方法在处理非线性常微分方程参数估计问题中要优于NLS和SLS法。 第二部分考虑将本文提出的方法应用于酿酒酵母菌基因数据,重构酿酒酵母菌非线性基因调控网络。首先对基因数据进行聚类,识别出具有相同表达模式的共表达基因模块,并将识别到的基因模块数据用于本文提出的非线性常微分方程参数估计方法。最终得到酿酒酵母菌非线性基因调控网络,分析了不同基因模块之间的双向调控、共同调控和自调控等调控关系。基因的真实表达曲线图表明了该方法良好的估计效果,最终估计得到的非线性基因调控关系与单纯的线性调控关系相比结果更加丰富。

关键词： 立德树人   思政教育   “双一流”   常微分方程  

摘要： 常微分方程课程的思政教育，旨在将思想政治教育元素有机融入常微分方程教学中，同时挖掘与思想政治教育相关的内容。这种有机结合的教学方法旨在提高学生对常微分方程课程的学习兴趣，培养他们独立、理性的逻辑思维能力和数学专业素养，更好地实现立德树人的根本任务。