关键词:
退化平衡点
分岔
广义正常区域
全局相图
摘要:
自然界和人类社会中常会出现随时间推移而演变的体系,如太阳系中的行星运动、传染病在人群中的传播和经济体的工业化发展状况等.而微分可以表示某一状态的变化趋势,因此这类演变体系可以表述为包含未知函数和其导数的等式,即微分方程,如描述电子电路中三极管的震荡效应的Van der Pol方程、描述传染病传播情况的SIR(Susceptible-Infected-Recovered)模型、描述空气流体运动的Lorenz方程等.我们通过研究方程解的性质来解释一些自然规律和社会现象,根据当前状态对未来发展趋势做出预测,或者为控制某一状态的发展提供某种意义下的最优或较好的策略.根据实际问题建立常微分方程模型的过程往往包含了近似和省略,因此要使所取的模型有效,就需要系统的结构在小扰动下保持某种程度的不变.然而,常微分方程的一些结构在小扰动下不能保持拓扑结构和定性性质不变,如非双曲平衡点和非双曲周期轨.为此,我们需要讨论模型中的分岔,从而得到实际问题中可能发生的现象.本文将研究两个常微分方程模型的动力学性质.第一个模型研究金枪鱼在两个漂浮物附近的分布规律.第二个模型研究环境因素对开放式经济体工业发展的影响.在第二章,我们介绍根据平面系统的局部定性性质分析其全局轨道结构的基本方法以及分岔理论的基础知识.在第三章,我们研究金枪鱼分布模型.Robert等人将平衡点的存在性问题简化为一个三次多项式和一个四次多项式的零点分布问题,发现系统最多同时存在五个平衡点,并根据特征值判断了双曲平衡点的稳定性.由于多项式零点表达式的复杂性会使计算特征值非常困难,我们用单调区间的方法定性地分析零点的位置和特征值的符号,从而发现系统最多同时存在七个平衡点,比前人结果多两个.而且我们讨论了所有平衡点的定性性质.然后,我们分析了所有的平衡点分岔,包括鞍结分岔、音叉分岔和两个余维2分岔.一个余维2分岔是一维的尖点分岔,另一个余维2分岔实质上是一个一维的余维4的退化系统的不完全开折,由于系统参数的限制只有余维2的部分被开折出来.接下来,我们证明了系统不存在周期轨、同宿环和异宿环,并给出了系统的相图.最后,我们根据系统的动力学性质发现金枪鱼在两个漂浮物下的数量总会趋于并最终稳定在平衡状态,得到了所有可能的最终分布情况,并给出了各种情况之间的临界条件.在第四章,我们研究一个描述开放式经济体工业发展的模型.由于该系统包含分数指数,其内部平衡点依赖于超越函数.Antoci等人通过对超越函数的极值进行放缩在部分情况下回答了内部平衡点的存在性,并用特征值分析了双曲平衡点的定性性质.而我们通过消去函数极值表达式中的超越项将其多项式化,从而完全解决了内部平衡点的存在性问题.然而,非双曲平衡点的定性分析是更困难的问题,未知的平衡点坐标进一步增加了难度.我们通过分析非双曲平衡点在中心流形上的稳定性得到其定性性质.为了得到系统的全局结构,我们还证明了系统有两个无穷远平衡点,并用Briot-Bouquet变换讨论其定性性质.此外,系统在原点处无意义,而且不能可微地延拓到原点.但由于延拓后的原点不是常点,我们用“广义正常区域”的方法分析了其附近的轨道结构.然后,我们根据非双曲平衡点找到了所有的平衡点分岔,包括鞍结分岔、跨临界分岔以及余维2的鞍结-跨临界(saddle-node-transcritical)分岔.接下来,我们证明系统不存在周期轨、同宿环和异宿环,并分析了系统的全局轨道结构,给出了全局相图.最后,我们对系统的轨道做了数值模拟,并结合定性分析的结果得到了实现经济体可持续发展的必要条件:经济体的最大可承载自然资源量必须处于一个有界区间内,而且工业生产对环境的负面影响必须低于临界值.