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关键词： 稀疏问题   深度展开网络   迭代优化算法   DenseNet   压缩感知   常微分方程   lp范数正则  

摘要： 稀疏问题是在现实生活应用十分广泛的一类问题,已经有很多解决各种实际应用问题中稀疏问题的传统优化算法以及深度网络的方法,例如,图像去噪、图像修复、图像超分辨等等。传统优化算法具有高度可解释性但低性能的特点,而一般的深度网络方法具有高性能但其可解释性却较为缺乏。近年来,深度展开网络由于能够有效结合传统优化以及深度网络的优点,逐渐成为关注度高的一类方法。在传统优化启发下,本文主要从以下三个方面对求解稀疏问题的深度展开网络进行研究:1.虽然近年来深度展开网络的研究发展十分迅速,有一系列相关的深度展开网络被提出,但通过整理调研发现,目前现有的大部分深度展开网络都是类似层层串联的简单结构。因此,受传统优化算法,优化梯度方法OGM的启发,本文将深入分析后得到的传统优化算法展开,提出了创新的具有稠密连接的深度展开网络DLISTA,并将其与深度网络中经典的Dense Net建立联系,为原本缺乏可解释性的Dense Net提供一定的可解释性。此外,为了得到具有良好性能以及相对简化的结构的网络,本文也提出了分块结构的DBLISTA网络,并通过实验验证了其解决稀疏问题的高效性能。2.深度展开网络能够为深度网络提供可解释性,而常微分方程也常被用于解释深度网络。本文对深度展开网络进行推导,将其改写为求解一阶常微分方程的欧拉数值方法的一步,成功地建立起深度展开网络与常微分方程的系统性联系。此外,通过引入经典的求解常微分方程的高阶数值方法―线性多步法,本文提出一个可以应用于任意单变量深度展开网络的高阶数值架构HNO,并将这一创新的架构应用于一些经典的深度展开网络中,提出了一系列创新的、具有良好网络性能的深度展开网络,并从理论和实际实验多个方面验证了HNO能够对现有的深度展开网络进行提升。3.在深度展开网络中,阈值函数也起到重要作用。目前大多数深度展开网络中使用的阈值函数是求解l范数正则问题的软阈值函数。但这一函数并不一定能够确保解的稀疏性。因此,本文引入非凸的l范数正则,并基于这一正则函数设计了一种自适应求解阈值函数中的阈值的方法PAT。此外,为了进一步增进提出的自适应阈值方法求解阈值的精确度,本文也为PAT方法提出两个不同的设置超参数的策略,并提出两个改进版本的自适应阈值方法。最后,本文通过大量的多种类别的实验验证了所提出的一系列自适应阈值方法的有效性。

关键词： 常微分方程   Double-LAD模型   误差界   交替极小算法  

摘要： 常微分方程(ODE)被广泛用于描述众多科学领域中的复杂动力系统。在大数据背景下,构建准确的高维常微分方程来描述问题是一个重要的研究内容。而在微分方程的研究中,估计表征ODE系统的参数是一项基础而重要内容。由于高维数据中总存在离群点或重尾误差等情况,我们提出了一种基于矩阵的高维ODE参数估计的稳健优化模型。考虑到ODE系统解的不稳定性,我们通过相似变换将估计原方程中的参数问题转化为估计其特征值和特征向量,然后分别利用最小一乘(LAD)方法和l1-penalized LAD方法估计,记为Double-LAD模型。文章中我们提到,也可以用最小二乘(LS)模型对原参数的特征向量的估计,建立LS-LAD模型。然后,我们给出两个估计量的误差上界,证明随着测量数据的增加,估计值将收敛至真实值,并且特征值的估计误差以大于1-2p-4κ(C22-1)+1的概率是O(?)的,从统计角度保证模型的稳健性、可行性。同时,我们在理论上说明l1-penalized中惩罚参数的选择标准。此外,我们设计了基于次梯度方法的交替极小算法求解Double-LAD模型。最后,我们在测量误差分别为高斯分布和t分布的情形下,对比不同维数下,Double-LAD方法、LS-LAD方法以及ST-SLS方法的估计结果,说明本文提出的Double-LAD模型是更加稳健和准确的。

关键词： 弹性变换   弹性升阶变换   弹性降阶变换   二阶常微分方程   阻尼震动方程  

摘要： 微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在众多领域都有着广泛的应用,并且因为非线性的方程、模型能更精确地揭示其内在联系以及本质规律,所以非线性微分方程的求解也是当今的研究热点。但是只有一些特殊形式的微分方程才能求出通解,所以微分方程的可解类依然很少,尤其是对于非线性微分方程而言,能求出通解的更是屈指可数。由于微分方程对于实际生活的重要性,探索新的方法扩大微分方程的可解类是十分有必要的。根据弹性的理论知识,本文提出了一种新的微分变换—弹性变换,即由相对变换率诱导出的微分变换,它包括弹性升阶变换和弹性降阶变换,并将它作为一种工具引入到微分方程的求解中,由此得出了一种求解非线性微分方程的新方法——弹性变换法。本文首先论述了该方法的引入背景:Woods和Sauro认为任何一个可导非零的函数关于其自变量均具有弹性,并得到了一个可用来计算弹性的数学公式。本文通过对弹性的定义、性质等进行研究后,提出了弹性变换法以及实现步骤,揭示了该方法的本质特征:对于某些非线性微分方程,可以通过弹性变换法进行升、降阶,将其转化为可求解的微分方程,从而获得原微分方程的解。作为范例,探讨了将一、三阶非线性微分方程通过升、降阶为二阶线性微分方程并求解,并且研究了相应的初值问题,这也为解决许多的实际工程问题,寻求更贴合实际情况的初值条件做了铺垫。最后研究结果表明,弹性变换法具有可将某些非线性微分方程转化为可求解的线性微分方程的突出特点,扩大了微分方程的可解类。弹性变换法又分为弹性升阶变换法和弹性降阶变换法:弹性降阶变换可将某些高阶的微分方程降阶为可解的低阶微分方程求解,这种通过降阶来求解微分方程也是以前大家的一种普遍做法;而弹性升阶变换法则可将某些低阶微分方程升阶为可解的高阶微分方程求解,打破了以往习惯性通过降阶来求解微分方程的传统观念,这无疑为微分方程的求解提供了一种新思路。

关键词： 分数阶微分方程   可解性   Banach压缩映射原理   不动点定理   Leray-Schauder抉择  

摘要： 本文研究了几类分数阶常微分方程边值问题的可解性,主要由三部分组成.第一部分运用Banach压缩映射原理和Schaefer不动点定理研究如下Caputo型分数阶微分方程边值问题获得了解的存在性,其中fi:[0,1]×R×R→R（i=1,2,…,k）关于三个变元连续可微,2＜α ≤ 3,1＜β≤2,cD0,xβ和cD0,xα是Caputo分数阶导数.第二部分运用Banach压缩映射原理和Leray-Schauder抉择研究多项分数阶微分方程边值问题获得了解的存在唯一性,其中0＜q＜1,f:[0,1]×R→R是连续函数,λ∈ R,ai（i=0,1,2）是实数且 a2 ≠0,∫01x（s）dB（s）是Riemann-Stieltjes 积分,cD0,tq是Caputo分数阶导数.第三部分运用锥拉伸与压缩不动点定理研究如下带扰动参数的分数阶边值问题获得了上述方程正解的存在性,其中2＜α≤3,0＜/β≤1＜γ＜α-1,m,n＞0,g∈ L1[0,1],0＜g＜m+n（α-1）,a＞0 是扰动参数,D0+α,D0+β和D0+γ是标准的Riemann-Liouville分数阶导数,f:[0,1]× R+× R+×R+→R+满足L1-Carathéodory 条件,其中 R+=[0,+∞).

关键词： 免疫   微生物群   分节丝状菌   T辅助性17细胞   数学模型   常微分方程  

摘要： CD4+T细胞(Th17细胞)被认为是CD4+T辅助(Th)细胞的独特谱系,在宿主防御、组织炎症和自身免疫中起重要作用。Th17细胞的鉴定打破了先前在感染和自身免疫中持有的Th1/Th2范式的概念。Th17细胞在健康免疫系统的功能中发挥关键作用,并保护宿主免受细菌和真菌感染,尤其是在粘膜表面,但也被认为在自身免疫、哮喘、癌症和过敏反应中具有致病作用。分节丝状菌是促进CD4+ Th17细胞分化的特异性诱导剂,同时,Th17诱导上皮细胞产生抗菌肽,可以限制SFB的粘附和定植,维持局部免疫平衡。肠道内微生物群和宿主免疫系统细胞的共生关系促进了体内平衡,确保维持微生物群落和平衡。饮食、年龄、抗生素等引起的菌群失调会改变SFB的丰度。研究表明SFB丰度随年龄发生变化,断奶时先增加后减少,但到成年期SFB丰度仍然很低;丰富饮食能够控制SFB的丰度;抗生素能够消灭肠道细菌以改变菌群丰度。现有的研究中,Th17分化机制较为完善,但是关于SFB对于Th17细胞分化的相关模型定量研究尚不充分。本文建立了一个多尺度、多细胞模型来展示细胞和蛋白网络机制来表征SFB如何特异性刺激Th17免疫作用,并强调鞭毛蛋白作为SFB抗原的重要作用。在现有的模型中,在菌群失调的背景下,通过改变SFB的丰度来探讨对Th17分化和对抗菌肽杀伤效率的影响,结果分为三个方面:SFB促进了Th17的分化,诱导了IL-17A和IL-22的表达,从而产生抗菌肽限制了SFB的增殖;在一定范围内,SFB丰度越高,可以诱导更多数量的Th17,但是同时又降低了IL-17A和IL-22的表达,进而导致抗菌肽杀伤细菌的能力下降,这加剧了菌群失调;与对照组相比,添加抗生素后,SFB受到抑制,鞭毛蛋白的分泌量较低,DC成熟的时间较晚,数量峰值较低,Th17细胞出现的时间较晚,IL-17A与IL-22的浓度总量在前期增长缓慢,导致抗菌肽表达较低。本研究有利于为研究Th17细胞以抗原依赖性方式在感染和炎症性疾病中发挥致病或保护作用的机理。

关键词： 常微分方程   数学建模   模型   应用  

摘要： 微分方程相关理论在日常的实际生活中都有着广泛的应用,特别是自然科学与工程技术方面的相关问题,微分方程是研究这些问题的重要工具.微分方程建模在解决很多实际问题时是一种特别有效的数学手段,它将数学的理论方法与生活实际巧妙地结合起来,给人们提供了一种崭新的解决问题思维方式,通过研究微分方程的各种属性,能够描述一些现象,并对未来的发展趋势做出预测,为解决实际问题提供新思路.文章从常微分方程的概念出发,选取几何、物理以及经济学等方面常见的模型内容,举例介绍常微分方程在数学建模中的一些简单应用.

关键词： 非线性分数阶常微分方程   Caputo分数阶导数   收敛性   稳定性  

摘要： 提出了非线性分数阶常微分方程初值问题的一种显式算法。首先将问题转化为等价的第二类Volterra积分方程,其次利用经典的Adams外插公式构造了一种收敛的显式算法,然后对该算法进行了收敛性和稳定性分析。最后,给出了数值算例,验证了方法的有效性。

关键词： 随机常微分方程   数值方法   Euler-Maruyama方法   Milstein方法   Runge-Kutta方法  

摘要： 随机微分方程是概率论与确定性微分方程相结合的产物,与确定性微分方程精确解的求解相比,随机微分方程精确解的求解是十分困难的。于是针对近几十年来兴起的热门边缘学科——随机微分方程的求解方法,提出了求随机微分方程数值解的方法应用及比较。讨论了求解随机微分方程数值解的方法,即Euler-Maruyama方法、Milstein方法和Runge-Kutta方法,并应用几个实例比较了在不同布朗运动影响下随机微分方程的精确解与确定性微分方程的精确解的不同之处,还比较了不同数值方法的求解结果及数值解与精确解的误差;编程图示结果表明:Milstein方法和Runge-Kutta方法的数值解比Euler-Maruyama方法更接近真解,这些与理论分析是一致的,该结论对随机常微分方程数值求解理论方法的应用具有一定的指导意义。

关键词： 常微分方程   波形松弛方法   Lipschitz条件   收敛稳定  

摘要： 波形松弛方法是一种用于近似求解常微分方程的迭代方法,实际计算时,初始值和每次迭代计算不可避免存在误差,因此有必要研究误差的传播规律,即稳定性。对常微分方程,证明了在Lipschitz条件下WR方法是收敛稳定的,即在标准收敛条件下,只要初值和历次迭代的误差足够小,由WR方法所得近似解的扰动能被控制在给定范围内。

关键词： ZPD理论   常微分方程   变式教学  

摘要： 基于维果茨基的"最近发展区"理论,围绕学生在学习"常微分方程"课程中面对变式问题手足无措的窘境,探讨了在"常微分方程"课程教学中如何通过变式教学增强学生解决问题的变通性、提高解决问题的能力和激活解决问题的聚合性等。教学实践表明,变式教学是一种切实可行的教学方法.