关键词:
两项Caputo分数阶常微分方程
Laplace变换
Picard迭代
Psi级数展开式
奇点分离
分段配置法
Chebyshev配置法
摘要:
分数阶微分方程适合描述具有历史记忆性质的客观现象,通常情况下解析解很难得到,需要使用数值方法求解.这类方程的典型特征是解在初始点非充分光滑,进而影响标准数值方法的计算精度.本文研究Caputo型分数阶常微分方程的奇性刻画与高精度数值算法,具体涉及线性与非线性,常系数与变系数等问题模型.第一章简单论述分数阶微分方程的发展,并引出本文的研究目标及主要内容.第二章研究两项线性常系数Caputo分数阶常微分方程初值问题的解在奇点的渐近性质.利用Laplace变换求出这类方程的解在初始点和无穷远点的渐近展开式.解在初始点的渐近展开式刻画了解的奇异类型和奇异程度,当自变量在初始点附近时是精确解的一个很好的近似.解在无穷远处的展开式展示了解的结构,以及解的稳定或不稳定性质.随着自变量逐渐增大,该展开式对精确解的逼近越来越精确.数值算例表明,本章求出的展开式计算简单,当自变量变小或变大时,解在初始点或无穷远点的展开式及其Padé逼近可以用来高精度地逼近方程的精确解.在本章的最后,应用该方法求解Bagley-Torvik方程的初值问题.第三章基于第二章的研究结果,继续研究两项线性分数阶微分方程的分段配置法.首先,在包含初始点的一个小区间上利用第二章得到的解在初始点的级数展开式来近似方程,将奇异方程转化为正则方程.其次,在剩余区间上,利用分段Lagrange插值设计配置法求方程的数值解,所得方法称为奇点分离分段配置方法.再次,对配置格式进行收敛性分析,得到最优阶误差估计.最后,通过两个数值算例说明所提方法在计算区间上具有最优逼近精度.第四章研究变系数非线性分数阶常微分方程的Chebyshev配置方法.为了准确识别解的奇性,设计一种修正的Picard迭代算法用于求解由微分方程转化得到的第二类Volterra积分方程,得到解在初始点的psi级数展开式.利用级数解在包含初始点的小区间上具有高逼近精度的性质,引入一个区间分割点,分离出方程解的奇异部分,将奇异问题转化为正则问题,从而可以在剩余区间上采用高精度的Chebyshev配置法进行求解.此时,对方程中的Caputo分数阶导数用其等价的Hadamard有限部分积分形式代替,避免直接处理导数.对新得到的超奇异积分方程使用Chebyshev配置法离散,设计高效的递推公式计算与Chebyshev多项式有关的超奇异权积分,并使用Newton迭代法求得相应的数值解.通过两个数值算例,检验所提数值方法的有效性.这种方法称为奇点分离Chebyshev配置法,该研究为高精度求解此类分数阶奇异问题提供新的思路.最后,对全文进行简要总结,并思考该问题后续的研究方向与目标展望.