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关键词： 故障诊断   神经常微分方程   动力学系统   残差网络  

摘要： 针对传统的深度学习故障诊断方法中存在架构可解释性差以及盲目堆叠层数导致的参数增加和内存消耗等问题，将神经常微分方程（Neural Ordinary Differential Equations）引入到机械故障诊断中。搭建面向机械故障诊断的神经常微分方程网络架构，利用神经网络参数化隐藏状态的导数代替指定隐藏层的离散序列。通过构建故障数据与故障类型的非线性关系，使用常微分方程求解器（ODE solver）完成对不同故障类别的分类任务，形成一种端对端的故障诊断模式。将该方法应用到机械故障诊断领域，搭建特定的神经常微分方程网络模型，通过故障数据的输入完成对不同故障类别的分类任务。将该模型应用到航空发动机主轴轴承故障诊断中，并与残差网络模型的故障诊断方法进行对比。实验结果表明，在确保准确率不降低的情况下，该方法不仅减少了内存消耗，而且更将模型参数数量减少了将近五倍。

关键词： 非线性分数阶常微分方程   初值奇异性   高阶数值格式  

摘要： 考虑非线性分数阶常微方程高阶格式的精确解具有初值奇异性,从而引入初值变量和逐块方法,再利用拉格朗日插值公式,提出一种新的高阶数值格式。该高阶数值格式为非光滑解条件下的5+α阶。

关键词： 二阶Fermat型复微分方程   Nevanlinna值分布理论   整函数  

摘要： 本文研究了二阶Fermat型常微分方程(a_(1)f+b_(1)f′+c_(1)f")^(2)+(a_(2)f+b_(2)f′+c_(2)f")^(2)=γ的整函数解的问题,其中γ是C上的整函数.利用Nevanlinna值分布理论的方法,获得了方程存在整函数解的充要条件,并且给出了解的表达形式.

关键词： 图机器学习   图神经网络   神经常微分方程   分类体系   综述  

摘要： 图神经网络(graph neural network,GNN)是处理图结构数据的强大工具,能够捕捉节点间的复杂关系和特征.但GNN的离散架构导致其在表示图结构、建模图演化、适应不规则数据和计算开销等方面面临诸多挑战.面对这些挑战,神经常微分方程(ordinary differential equation,ODE)由于能够模拟系统状态的连续变化,具备“连续深度”的编码和推断能力,被作为解决GNN面临挑战的全新方法而引入.然而,神经ODE是为欧式结构数据设计的,无法直接捕捉图结构特性.因此,提出了图神经ODE,一种将神经ODE与GNN结合的新架构,可以更好地适应图结构数据并充分利用其特性.近年来,图神经ODE相关研究已经深入到图机器学习的各个方向中,引发了新的研究热潮.在此背景下,适时地对图神经ODE研究前沿进行了系统性综述.首先,回顾了GNN的关键优势和面临的诸多挑战,阐述了引入神经ODE并与GNN结合的理论基础和实践意义.随后,详细介绍了图神经ODE的背景和基本概念,并提出了一种新颖的分类方法,在此基础上对当前的相关方法进行了全面描述.然后,介绍了相关研究常用的验证方法,包括下游任务及数据集.进一步,深入探讨了图神经ODE在多个实用领域上的应用.最后,对图神经ODE面临的挑战和未来发展趋势进行了总结和展望.

关键词： 高校数学   课程思政   教学改革  

摘要： 课程思政的推进不仅是当前高校教学改革的鲜明趋势,而且是落实立德树人教育根本任务的关键行动。常微分方程是一门非常重要的基础课程,具备充分开展课程思政的条件,通过分析当前常微分方程课程思政开展现状及问题,阐述了常微分方程课程思政优化策略,以期为增强学生思想政治素质,更好地培养全面发展的人才助力。

关键词： 常微分方程   教材建设   高阶性   创新性   挑战度   课程思政  

摘要： 教材是高校教育教学的基本依据,是解决培养什么人、怎样培养人和为谁培养人这一根本问题的重要载体.结合多年的教学实践,聚焦现代信息技术与教育教学深度融合背景下常微分方程教材建设的几个关键性问题,提出了一系列加强教材建设的策略,旨在为其他高校提供有益的参考,共同推动教育教学的创新与发展.

关键词： 常微分方程   数值计算   神经网络  

摘要： 针对各种微分方程数值求解的方法,如有限差分法、有限元法等方法,在求解微分方程时存在计算存储量、计算时间等都随着微分方程维数的增加而剧烈增长的问题,严重制约了高维问题的求解。神经网络因其能够无限逼近任意非线性函数的特性,为求解微分方程提供了一种新的思路。通过神经网络训练,得到微分方程的近似解是连续函数,且具有足够的精度,因此可以得到解的任意阶导数。该方法的优势在于当问题维数增大时,计算量和存储量增加相对较小,可以克服维数灾难求解高维问题;同时,具有良好的泛化性和求解复杂区域问题的能力。提出一种求解微分方程的神经网络方法,即通过物理约束耦合神经网络的方法。通过数值算例说明,神经网络方法在求解微分方程问题上有高效率、很好的泛化等优点,能够保证优化算法的收敛性,且近似解具有足够的精度,为微分方程求解提供了一种有效的途径。

关键词： 常微分方程   向量边值问题   仿伪逆矩阵   Mawhin的重合度理论   共振  

摘要： 研究了一类带有系数矩阵的分数阶共振边值问题.首先,定义2个合适的Banach空间;然后,在Banach空间中构造恰当的算子并使用仿伪逆矩阵的性质及Mawhin的重合度理论,得到了其解的存在性;最后,给出一个例子来验证主要结果.

关键词： 线性系统   数字化智能化转型发展背景   线性代数   常微分方程  

摘要： 线性系统理论课程的授课对象包括应用数学和自动化等专业方向的高年级本科生或低年级研究生.然而当前许多线性系统理论课程设计或教学过程中,只是局限于围绕模型精确已知的系统的能观性、状态观测器设计、反馈控制设计等开展教学活动.结合工程实际中模型几乎难以精确建立且多数是非线性的这一实际背景和当前数字化和智能化转型发展背景,文章基于输入输出数据驱动的视角,探讨不确定性系统能观性、新型状态观测器设计和智能控制算法设计等线性系统理论课程教学,并探讨基于数据驱动观点的线性系统理论课程教学和数学课程教学的联系和区别,让学生体会数学思想方法和系统控制思想方法交叉的美妙之处,进一步提高学生学习数学控制论和控制科学与工程相关学科方向的兴趣,提高学生独立思考能力和学习迁移能力.

关键词： 积分因子   恰当方程   微分中值定理  

摘要： 积分因子是常微分方程中的一个重要内容,同时也是学生不易掌握和应用的一个知识点。利用积分因子不仅可以求解满足恰当积分条件的一阶微分方程,更可以和微分中值定理产生联系,因此积分因子在各种数学竞赛以及历年考研数学试题中频繁出现。本文在常微分方程教材的基础上,从恰当方程出发,介绍了积分因子以及相关性质。最后,给出了积分因子的一些应用。